物質を個々の分子や原子の集まりとしてではなく、空間的に連続して分布する「連続体」として捉える視点。これが連続体力学（Continuum Mechanics）の根幹です。このアプローチにより、複雑な微視的構造を簡略化し、マクロな視点から物質の物理的挙動を数学的に記述することが可能になります。
連続体力学は、大きく分けて、力を受けた際に変形する物質を扱う「流体力学」と、弾性や塑性などの特性を持つ「固体力学」の2つの主要分野に分かれます。これらの理論は、土木、機械、航空宇宙、バイオメディカル、化学工学など、現代工学のあらゆる領域で不可欠な基盤となっています。
連続体としての物体は、ある時点での配置（構成）によって定義されます。各粒子は位置ベクトルによって特定され、時間の経過とともに現実的な変化を遂げ、かつ物体が自己交差することなく一意に記述されることが前提となります。
Key Facts
- 連続体仮説：物質を不連続な粒子の集合ではなく、連続的な分布として扱う。
- 記述法の使い分け：固体力学では粒子を追跡する「ラグランジュ記述」、流体力学では空間上の点を観測する「オイラー記述」が一般的。
- 保存則の適用：質量、線形運動量、角運動量、およびエネルギーの保存則が物理的挙動を支配する。
- 応力の概念：内部に生じる力は、コーシー応力テンソルなどのテンソル量を用いて表現される。
物質の運動と変形の記述法
連続体の構成が変化すると、物体には「変位」が生じます。この変位は、形状やサイズが変わらない「剛体変位（平行移動と回転）」と、形状やサイズが変化する「変形」の2つの要素で構成されます。変形とは、初期の未変形状態から現在の変形状態への移行を指します。
ラグランジュ記述（物質記述）
ラグランジュ記述では、時刻 $t=0$ のときの参照構成における粒子の位置（物質座標）を基準に、その後の位置や物理的特性を追跡します。観測者は特定の粒子に注目し、それが空間をどのように移動するかを記述します。この手法は、主に固体力学で採用されています。
オイラー記述（空間記述）
対照的に、オイラー記述では、空間上の固定された点（空間座標）に注目します。ある瞬間にその点に存在する粒子が、もともとどこにいたかを逆算して追跡する形式です。この手法は、流れを扱う流体力学において非常に効率的です。
連続体に作用する力と支配方程式
連続体に作用する全荷重は、物体の表面に作用する「表面力」と、体積全体に作用する「体積力（重力など）」の合計として表されます。これらの力による平衡状態や運動は、以下の保存則によって記述されます。
| 保存則 | 物理的意味 | 主要な概念 |
|---|---|---|
| 質量保存則 | 物質の総量は変化しない | 密度 $\rho$、速度 $\mathbf{v}$ |
| 線形運動量保存則 | ニュートンの第2法則の連続体版 | コーシー応力テンソル $\boldsymbol{\sigma}$ |
| 角運動量保存則 | 回転のバランスを記述 | 応力テンソルの対称性 |
| エネルギー保存則 | 熱と仕事によるエネルギー変化 | 内部エネルギー $e$、熱流束 $\mathbf{q}$ |
変形勾配と応力テンソル
変形の度合いを定量化するために「変形勾配テンソル $\mathbf{F}$」が導入されます。これは参照構成から現在の構成への写像の微分として定義されます。また、内部的な力の分布を示すために、コーシー応力テンソルや、参照構成に基づいた第一ピオラ・キルヒホフ応力テンソルなどが使い分けられます。
熱力学的制約：クラウジウス・デュエムの不等式
物理的な妥当性を確保するため、連続体力学では熱力学第二法則に基づく制約が課されます。これがクラウジウス・デュエムの不等式です。この不等式は、エントロピーの生成が負にならないこと、つまりエネルギーの散逸過程が物理的に正しく記述されていることを保証します。これにより、内部エネルギーの変化、応力による仕事、および熱伝導の間の関係が制限されます。
Frequently Asked Questions
連続体力学と離散的な力学的なアプローチの違いは何ですか？
離散的なアプローチ（分子動力学など）は個々の粒子や原子の相互作用を計算しますが、連続体力学は物質を平均化し、密度や応力などの場（フィールド）として扱います。これにより、巨大な構造物や広大な流体の挙動を効率的に計算できます。
ラグランジュ記述とオイラー記述のどちらを使うべきですか？
一般的に、変形が小さく、特定の物体の形状変化を追跡したい固体力学ではラグランジュ記述が適しています。一方で、流体のように物質が激しく移動し、特定の地点での速度や圧力を知りたい場合はオイラー記述が適しています。
変形勾配テンソル $\mathbf{F}$ は何を意味していますか？
変形勾配テンソルは、物質の微小要素が変形によってどのように伸び、回転したかを示す行列です。このテンソルを解析することで、体積変化や歪みの量を算出することが可能です。
コーシー応力テンソルとは何ですか？
物体内部の任意の点において、ある平面に作用する単位面積あたりの力（応力）をあらゆる方向について記述したテンソルです。これにより、内部的な引張、圧縮、せん断の状態を完全に表現できます。
クラウジウス・デュエムの不等式がなぜ重要なのですか？
数学的に導き出した構成方程式（物質の特性を示す式）が、熱力学的にあり得ない挙動（例：外部からエネルギーを与えずに温度が上がるなど）を示さないように制限するための「フィルター」の役割を果たすためです。
References
- Maxwell pointed out that nonvanishing body moments exist in a magnet in a magnetic field and in a dielectric material in an electric field with different planes of polarization.
- Couple stresses and body couples were first explored by Voigt and Cosserat, and later reintroduced by Mindlin in 1960 on his work for Bell Labs on pure quartz crystals.[]
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