数学的なシステムの動的な振る舞いを視覚的に把握するために、相図（フェーズポートレート）は非常に強力なツールとなります。相図とは、常微分方程式（ODE）で記述されるシステムの方向性や時間経過に伴う状態の変化を平面上に描いたものです。これにより、複雑な数式を解かなくても、システムが最終的にどのような状態に落ち着くのか、あるいは発散するのかという「安定性」を直感的に理解することが可能になります。
システムの安定性を定義する3つの状態
相図を通じて分析されるシステムの安定性は、主に以下の3つのカテゴリーに分類されます。
- 漸近安定（Asymptotically stable）：時間の経過とともに、すべての解がゼロ（平衡点）に向かって収束していく状態です。
- 中立安定（Neutrally stable）：解が無限遠に発散することはありませんが、同時にゼロに収束することもない状態を指します。
- 不安定（Unstable）：ほとんどの解が時間の経過とともに無限大（∞）へと向かい、平衡点から離れていく状態です。
相図の形状を決定する数学的指標
システムの挙動や相図の形状は、行列の固有値、あるいはトレース（固有値の和：$\\lambda_1 + \\lambda_2$）と行列式（固有値の積：$\\lambda_1 \\lambda_2$）によって決定されます。これらの数値的な特性を調べることで、システムがどのような軌跡を描くかを予測できます。
軌跡のパターンと判定条件
固有値の性質によって、相図には主に「サドル」「ノード」「スパイラル」の3つの形状が現れます。
- サドル（Saddle）：固有値が実数であり、かつ正負の符号が異なる場合に発生します。このとき行列式は負の値となり、システムは常に不安定な挙動を示します。
- ノード（Node）：固有値が実数で符号が一致しており、かつ値が異なる場合に現れます。行列式が正で、かつ $0 < \\text{determinant} < (\\text{trace} / 4)$ の条件を満たします。トレースが負であれば安定、正であれば不安定となります。
- スパイラル（Spiral）：固有値が実部と虚部の両方を持つ複素数の場合に発生します。条件は $(\\text{trace} / 4) < \\text{determinant}$ となります。ノードと同様に、トレースの正負によって安定か不安定かが決まります。
主要な特性まとめ
以下に、固有値や行列式の条件と、それに対応する相図の形状および安定性の関係をまとめます。
| 固有値・トレース・行列式の条件 | 相図の形状 | 安定性の判定 |
|---|---|---|
| 実数で符号が異なる / 行列式 < 0 | サドル | 不安定 |
| 実数で符号が同じ（$\\lambda_1 \\neq \\lambda_2$） / 0 < 行列式 < (トレース / 4) | ノード | トレース < 0 で安定 / トレース > 0 で不安定 |
| 実部と虚部を共に持つ / (トレース / 4) < 行列式 | スパイラル | トレース < 0 で安定 / トレース > 0 で不安定 |
Key Facts
- 相図は常微分方程式システムの方向性と安定性を視覚化するものである。
- 安定性は「漸近安定」「中立安定」「不安定」の3種類に大別される。
- システムの挙動は、固有値、トレース（固有値の和）、行列式（固有値の積）で決定される。
- 行列式が負の場合は「サドル」となり、システムは不安定になる。
- ノードやスパイラルの安定性は、トレースの正負によって左右される。
Frequently Asked Questions
相図を使うことで何が分かりますか？
システムが時間とともにどのように変化するかという方向性と、最終的に平衡点に収束するのか、あるいは発散するのかという安定性を視覚的に判断できます。
「漸近安定」と「中立安定」の違いは何ですか？
漸近安定はすべての解が最終的にゼロ（平衡点）に収束することを意味しますが、中立安定は無限に発散はしないものの、必ずしもゼロに収束するわけではない状態を指します。
トレースと行列式はどのように計算しますか？
トレースはシステムの固有値 $\\lambda_1$ と $\\lambda_2$ の和（$\\lambda_1 + \\lambda_2$）であり、行列式はそれらの積（$\\lambda_1 \\lambda_2$）として計算されます。
スパイラル形状になる条件は何ですか？
固有値が実部と虚部の両方を持つ複素数である場合、または数学的に $(\\text{trace} / 4) < \\text{determinant}$ という条件を満たす場合にスパイラル状の軌跡となります。
サドル点を持つシステムは安定しますか？
いいえ、サドル点を持つシステムは常に不安定（Unstable）に分類されます。