オクタグラムとは、8つの頂点を持つ星形の多角形のことです。その名称は、ギリシャ語で「8」を意味する「octa-」と、「線」を意味する「-gram（grammḗ）」を組み合わせたことに由来しています。単純な定義では、自己交差を持つ8辺形の一種と言えますが、数学的な視点からは非常に興味深い対称性と構造を持っています。
Key Facts
- 正オクタグラムは、シュレーフリ記号で{8/3}と表記され、8つの頂点を1つ飛ばしではなく、3つごとに結ぶことで形成される。
- 内部角は45度であり、正多角形としての対称性（二面体群 D8）を持つ。
- 多様な形態が存在し、正則なものから、2つの正方形を重ねた複合図形、あるいは凹16角形として捉えることも可能。
- 実世界への応用として、古代の暦、宗教的シンボル、さらには最新の宇宙望遠鏡が捉える光の回折現象まで幅広く見られる。
幾何学的な構造と分類
オクタグラムにはいくつかの数学的な定義とバリエーションが存在します。最も代表的な「正オクタグラム」は、すべての辺の長さが等しく、すべての頂点角が等しい等角・等辺の性質を持っています。
シュレーフリ記号{8/3}で表されるこの図形は、円周上に等間隔に配置された8つの点のうち、3番目の点へと線を引いていくことで描かれます。これにより、中心で線が交差する星形が完成します。
準正多角形としての側面
正方形を深く切り落とす（切頂する）プロセスを通じて、オクタグラムを導き出すことができます。正方形の切頂によって得られるのが正八角形（t{4}）ですが、これをさらに反転させた「準切頂正方形（t{4/3}）」として捉えると、それは正オクタグラム（{8/3}）に一致します。
立体への拡張と複合図形
この2次元の概念は3次元の多面体にも応用されています。例えば、「星形切頂正八面体」は、その面にオクタグラムを持つ立体であり、オクタグラムの3次元的な analogue（類似体）と見なせます。また、非凸の大菱形立方八面体なども、準拡張された立方体としてオクタグラムの構造を含んでいます。
さらに、2つの正方形を重ね合わせた複合図形（{8/2}）や、4つの退化した2角形を組み合わせた形式など、対称性の異なるバリエーションも存在します。
歴史的・文化的な象徴としてのオクタグラム
数学的な美しさだけでなく、オクタグラムは人類の歴史の中で重要なシンボルとして用いられてきました。ヨルダンで発見された約6,000年前の洞窟壁画には、入れ子状になったオクタグラムが描かれており、当時の暦システムであった可能性が指摘されています。
また、世界各地の文化や宗教においても、以下のような象徴として登場します。
- イスラム文化：「ルブ・エル・ヒズブ（Rub el Hizb）」として知られる記号。
- 古代メソポタミア：女神イシュタルや、太陽神ウトゥの象徴。
- 北欧・ラトビア：ノルウェーの「セルブローズ」やラトビアの「アウセクリス」などの伝統的なデザイン。
- その他：方位磁針のコンパスローズ（8方位）や、チリの古い旗に見られる「グニェルベ」など。
科学的な現象：宇宙望遠鏡に見る8光条
現代においてオクタグラムの形状が注目を集める例の一つに、ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡（JWST）が撮影した画像があります。画像内の明るい星の周囲に、特徴的な8本の光の筋（回折スパイク）が現れることがあります。
この現象は、望遠鏡の主鏡が六角形のセグメントで構成されていることと、副鏡を支えるストラット（支柱）の構造によって光が回折されるために起こります。つまり、光学的な設計が結果としてオクタグラム状の光のパターンを生み出しているのです。
オクタグラムの特性まとめ
| 項目 | 正オクタグラム ({8/3}) の詳細 |
|---|---|
| 頂点・辺の数 | 8 |
| 内部角 | 45° |
| 対称性 | 二面体群 (D8) |
| 性質 | 正則、等辺、等角、等辺（isotoxal） |
| 双対多角形 | 自己双対 |
Frequently Asked Questions
オクタグラムと正八角形の違いは何ですか？
正八角形は辺が交差せずに外周を囲む凸多角形ですが、オクタグラムは辺が内部で交差する星形多角形です。正オクタグラムは、正八角形の頂点を特定の順序（3つ飛ばし）で結ぶことで作成されます。
シュレーフリ記号 {8/3} は何を意味していますか？
最初の数字「8」は頂点の総数を、分母の「3」は頂点を結ぶ際の間隔を示しています。つまり、8つの頂点がある円周上で、3番目の頂点に向かって線を引くことでこの星形が描かれることを意味します。
なぜジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡の画像に8つの角が現れるのですか？
これは「回折」という光の現象によるものです。六角形の主鏡の形状と、副鏡を固定する支柱の配置が組み合わさることで、特定の方向に光が散らばり、結果として8本のスパイク状の光が現れます。
オクタグラムは他の図形の組み合わせで表現できますか？
はい。例えば、2つの正方形を45度回転させて重ね合わせることで、一種のオクタグラム（複合図形 {8/2}）を作成することができます。また、内部の交差部分を除去して考えると、凹16角形として定義することも可能です。
References
- "Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, γραμμή". www.perseus.tufts.edu. Retrieved 2024-10-31.
- The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons,
- Polcaro, Andrea (2013), "The Tuleilat al-Ghassul Star Painting: A Hypothesis Regarding a Solar Calendar from the Fourth Millennium B", in Winona Lake (ed.), Time and History in the Ancient Near East Proceedings of the 56th Rencontre Assyriologique Internationale at Barcelona 26–30 July 2010, pp. 273–284, :10.1515/9781575068565-026
- Lawrence, Pete (13 September 2022). "Why do all the stars have 8 points in the James Webb images? An astronomer explains". BBC Science Focus Magazine. Retrieved 1 March 2023.
📸 フォトギャラリー