A homogeneous function is not necessarily continuous, as shown by this example. This is the function f {\displaystyle f} defined by f ( x , y ) = x {\displaystyle f(x,y)=x} if x y > 0 {\displaystyle xy>0} and f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} if x y ≤ 0. {\displaystyle xy\leq 0.} This function is homogeneous of degree 1, that is, f ( s x , s y ) = s f ( x , y ) {\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)} for any real numbers s , x , y . {\displaystyle s,x,y.} It is discontinuous at y = 0 , x ≠ 0. {\displaystyle y=0,x\neq 0.}
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同次関数斉次関数正の同次性同次次数オイラーの定理

同次関数（斉次関数）の定義と性質数学的基礎からオイラーの定理まで

🗓 2026年8月11日

数学における同次関数（斉次関数）とは、複数の変数を持つ関数において、すべての引数を同じスカラー倍したとき、関数の値がそのスカラーの特定の累乗倍になるという性質を持つ関数を指します。この累乗の指数は「同次次数」または単に「次数」と呼ばれます。

例えば、n個の変数を持つ関数 $f$ が次数 $k$ の同次関数である場合、任意の変数 $x_1, \dots, x_n$ と 0 ではないスカラー $s$ に対して、以下の等式が成立します： $f(sx_1, \dots, sx_n) = s^k f(x_1, \dots, x_n)$

Key Facts

  • 同次性の定義：引数を $s$ 倍したとき、出力が $s^k$ 倍になる関数。
  • 正の同次性：スカラー $s$ が正（$s > 0$）の場合のみ等式が成立する性質。
  • 代表例：線形写像（次数1）、同次多項式、ノルム（正の同次次数1）。
  • オイラーの定理：微分可能な正の同次関数は、特定の偏微分方程式を満たす。
  • 非例：指数関数や対数関数、定数項を含むアフィン関数は同次関数ではない。

同次性の概念と拡張

もともと実変数の関数として導入されたこの概念は、現代数学ではベクトル空間の理論を用いて一般化されています。2つのベクトル空間 $V$ と $W$ の間の関数 $f: V \to W$ が次数 $k$ の同次であるとは、すべての 0 ではないスカラー $s$ とベクトル $v \in V$ に対して $f(sv) = s^k f(v)$ が成り立つことを意味します。

また、定義域がベクトル空間全体ではなく、スカラー倍してもその集合に含まれる「錐（コーン）」である場合にもこの定義は適用されます。

正の同次性（Positive Homogeneity）

実数体などの順序体において、スカラー $s$ が正である場合にのみ条件を満たす関数を正の同次関数と呼びます。すべての同次関数は正の同次関数ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。

典型的な例が「絶対値」や「ノルム」です。これらは次数1の正の同次関数ですが、負のスカラーを掛けた場合に符号が反転しないため、通常の同次関数ではありません。

なお、同次関数であることは必ずしも関数の連続性を保証しません。例えば、特定の条件下で値が変化する関数であっても、同次性の定義を満たす場合があります。

A homogeneous function is not necessarily continuous, as shown by this example. This is the function f {\displaystyle f} defined by f ( x , y ) = x {\displaystyle f(x,y)=x} if x y > 0 {\displaystyle xy>0} and f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} if x y ≤ 0. {\displaystyle xy\leq 0.} This function is homogeneous of degree 1, that is, f ( s x , s y ) = s f ( x , y ) {\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)} for any real numbers s , x , y . {\displaystyle s,x,y.} It is discontinuous at y = 0 , x ≠ 0. {\displaystyle y=0,x\neq 0.}

具体的な例と分類

多項式と線形写像

最も単純な例は、すべての項の次数が等しい同次多項式です。例えば $f(x, y, z) = x^5 y^2 z^3$ は、指数の合計が $5+2+3=10$ であるため、次数10の同次関数となります。また、線形写像は定義により次数1の同次関数であり、多線形関数は次数 $n$ の同次関数となります。

その他の関数形式

  • 有理関数：次数 $m$ の同次多項式を次数 $n$ の同次多項式で割った関数は、分母が 0 でない領域において次数 $m-n$ の同次関数となります。
  • 最小・最大関数：$\min(x_1/w_1, \dots, x_n/w_n)$ のような形式（レオンチェフ型効用関数など）は、次数1の正の同次関数です。
種類 条件 代表的な例 次数
同次関数 任意の $s \neq 0$ で成立 同次多項式、線形写像 $k$ (整数)
正の同次関数 $s > 0$ のときのみ成立 絶対値、ノルム $k$ (実数)
絶対同次関数 $|s|^k$ 倍になる ノルムの累乗 $k$

オイラーの同次関数定理

微分可能な正の同次関数には、非常に重要な性質があります。次数 $k$ の正の同次関数 $f(x_1, \dots, x_n)$ がある開集合で連続微分可能であるとき、以下の偏微分方程式が成立します：

$k f(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1, \dots, x_n)$

この定理の帰結として、次数 $k$ の同次関数を微分して得られる1次偏導関数は、次数 $k-1$ の同次関数になることが導かれます。また、この性質は微分方程式の解法において、変数変換 $v = y/x$ を用いて非分離形の方程式を分離形に変換する際などに活用されます。

Frequently Asked Questions

同次関数と正の同次関数の決定的な違いは何ですか？

最大の違いは、負のスカラー倍（$s < 0$）を許容するかどうかです。同次関数は正負に関わらずスカラー倍の性質を満たす必要がありますが、正の同次関数は $s > 0$ の範囲でのみ成立すればよいため、絶対値のように「負の値を正に変換する」関数も含まれます。

どのような関数が同次関数になりませんか？

定数項を持つ関数（例：$f(x) = x + 5$）や、指数関数（$e^x$）、対数関数（$\ln x$）などは、引数を $s$ 倍しても出力が $s^k$ 倍にならないため、同次関数ではありません。

線形写像はなぜ同次関数と言えるのですか？

線形写像の定義そのものが $f(\alpha v) = \alpha f(v)$ であるため、これは次数 $k=1$ の同次関数の定義と完全に一致します。

オイラーの定理はどのような場面で役に立ちますか？

主に解析学や経済学（生産関数などの分析）で利用されます。関数の値とその微分（限界変化率）の間に線形関係があることを示すため、複雑な多変数関数の性質を簡略化して分析することが可能です。

References

  1. However, if such an f {\displaystyle f} satisfies f ( r x ) = r f ( x ) {\displaystyle f(rx)=rf(x)} for all r > 0 {\displaystyle r>0} and x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} then necessarily f ( 0 ) ∈ { ± ∞ , 0 } {\displaystyle f(0)\in \{\pm \infty ,0\}} and whenever f ( 0 ) , f ( x ) ∈ R {\displaystyle f(0),f(x)\in \mathbb {R} } are both real then f ( r x ) = r f ( x ) {\displaystyle f(rx)=rf(x)} will hold for all r ≥ 0. {\displaystyle r\geq 0.}